Waring-Problem

Waring-Problem

 

['weərɪȖ-], eine von dem englischen Mathematiker Edward Waring (* 1734, ✝ 1798) 1770 als Vermutung formulierte Aussage der additiven Zahlentheorie, nach der jede natürliche Zahl die Summe von höchstens neun dritten Potenzen natürlicher Zahlen ist und auch jede natürliche Zahl als Summe von höchstens neunzehn vierten Potenzen natürlicher Zahlen darstellbar ist. Allgemein formuliert lautet das Waring-Problem, ob zu jeder natürlichen Zahl k eine kleinste natürliche Zahl g (k) existiert, sodass jede natürliche Zahl n als Summe von höchstens g (k) k-ten Potenzen natürlicher Zahlen darstellbar ist: n = x^k_l +. .. + x^k_s, mit x_i ∈ ℕ, 1 ≦ i ≦ s ≦ g (k). D. Hilbert hat diese Aussage 1909 bewiesen. Das Waring-Problem enthält den Lagrange-Satz als Spezialfall, denn es ist g (2) = 4, d. h., jede natürliche Zahl ist als Summe von höchstens vier Quadratzahlen darstellbar. Im Laufe der Entwicklung der additiven Zahlentheorie wurden zahlreiche Varianten und Verallgemeinerungen des Waring-Problems formuliert und beantwortet.